摘要　统一场论的特殊情形。在古新妙电磁场理论中，电磁场方程不再是关于电场强度与磁场强度的方程，而是关于电磁场的标量势与矢量势的方程，整个理论十分和谐而且逻辑严谨。为了说明古新妙电磁场理论在实践应用上的意义，文中举出了一些古新妙电磁场的具体例子，这些具体例子表明古新妙电磁场理论必有存在与发展的价值。可以说古新妙电磁场理论填补了理论物理学中的一个空白。

　　关键词　统一场论，古新妙电磁场

　　1.统一场论

　　为了建立统一场论，我们必须研究电磁场和引力场的作用量。质量和电量都是物质的属性，这两个属性有所不同，运动的质量不产生磁性，运动的电荷产生磁性。电磁场以及引力场和场内的一些粒子所组成的整个体系的作用量应当包含着五个部分：

　　其中是仅仅与粒子的性质有关的一部分，它就是自由粒子的作用量：

　　是粒子及引力场两者之间的相互作用有关的一部分，它的形式是：

　　是仅仅与引力场本身的特性有关的那一部分，它的形式是：

　　是粒子及电磁场两者之间的相互作用有关的一部分，它的形式是：

　　是仅仅与电磁场本身的特性有关的那一部分，它的形式是：

　　其中。因此

　　如果只研究带电粒子在电磁场以及引力场内的运动规律，那么只需考虑作用量。

　　利用最小作用量原理，便可求得粒子在电磁场以及引力场内的运动方程：

　　其中，，。运动方程的两边数乘以，得

　　如果、、都不明显地含有时间，那么我们有能量守恒：

　　从而有能量积分：

　　 （常数）

　　如果研究场本身的性质，那么只需考虑作用量。此时需要根据、把表成，把表成。于是

　　其中是的简写。我们有

　　运用高斯定理，得

　　其中的第一项的积分限在无穷远处，而场在无穷远处的值为零，故其积分值等于零。因此

　　即

　　同法可得

　　又

　　所以

　　根据最小作用量原理，得

　　就是所求的引力场方程和电磁场方程。我们看到，引力场方程和电磁场方程是统一的，引力场的引力势满足方程，其中代表质量分布密度，代表引力常数。电磁场的标量势满足方程，电磁场的矢量势满足方程，它们都是Poisson方程，这就是统一场论。注意，古新妙电磁场理论的基本方程不再是关于电场强度和磁场强度的方程，而是关于描写电磁场的标量势和矢量势的方程：、，它们就是古新妙电磁场理论的基本方程。其中电荷分布密度与电流密度矢量满足连续性方程。连续性方程在解答Poisson方程时起着重要的作用，所以我们必须建立连续性方程。利用质量守恒原理可以推出反映质量守恒的连续性方程。利用电荷守恒原理可以推出反映电荷守恒的连续性方程。

　　现在让我们根据电荷守恒原理推出反映电荷守恒的连续性方程。电磁场是由空间中的电荷分布及其运动状态来决定的。空间中电荷的分布状况由电荷分布密度来表示，它使得等于体积所包含的电荷数，而且在某一个体积内所取的积分等于该体积内的电荷数。空间中电荷的运动状态由电流密度矢量来表示，其中表示空间该点处电荷的运动速度。

　　在某一个体积内的总电荷数对时间的变化取决于导数。而在单位时间内离开该体积的电荷数是，这里是包围体积的曲面，而矢量代表曲面上的面积元，它的方向沿着曲面的外法线方向。因此有

　　这就是表示电荷守恒的积分形式。根据高斯定理，有，所以

　　即

　　所以

　　这就是表示电荷守恒的微分形式，叫做连续性方程。同样可以根据质量守恒原理推出反映质量守恒的连续性方程：

　　 注意，运动的电荷产生磁性是一个绝对性问题，我们不能滥用伽利略相对性原理来说一个运动的电荷在这个系统中产生了磁性，在另一个系统中没有产生磁性，所以电磁场理论是绝对性理论，统一场论也是绝对性理论。滥用伽利略相对性原理必然会给电磁场的绝对性理论提出一些不必要的疑难。再者，虽然在古新妙电磁场理论中没有假定以太的存在，但是如果证实电磁波的传播的确与以太的存在有关的话，那么古新妙电磁场理论并不排斥假定以太的存在。

　　2. 古新妙电磁场

　　现在叙述笔者所建立的古新妙电磁场理论，大意如下：电磁场由给定的标量势和矢量势来描写，它们首先必须满足Poisson方程：

　　 （7-1）

　　 （7-2）

　　这两个方程叫做古新妙电磁场理论的基本方程。其中电荷分布密度与电流密度矢量满足连续性方程：

　　 （7-3）

　　利用以上三个方程就可以求出标量势和矢量势。然后根据公式

　　 （7-4）

　　 （7-5）

　　确定电场强度和磁场强度。由此推出第一对麦克斯韦方程：

　　 （7-6）

　　 （7-7）

　　在电磁场方程（7-1）、（7-2）中令、，得到真空中的电磁场方程

　　 （7-8）

　　 （7-9）

　　假定和都是常矢量，那么用以描写均匀电场的标量势以及用以描写均匀磁场的矢量势都满足真空中的电磁场方程，所以，均匀电场以及均匀磁场都是真空中的电磁场。

　　注意，由（7-1）、（7-2）两式看出，电磁场的标量势和矢量势都仅仅可以准确到相差一个满足拉普拉斯方程的函数。再者，根据（7-1）、（7-2）两式可推出：

　　由此再根据连续性方程（7-3）推知：标量势和矢量势必须满足方程：

　　 （7-10）

　　这就是说，表达式也仅仅可以准确到相差一个满足拉普拉斯方程的函数。

　　根据表达式，两边取发散量，得，所以

　　 （7-11）

　　再者，将代入之中，得

　　 （7-12）

　　由（7-6）、（7-12）两式推出

　　所以

　　移项得

　　化简得

　　 （7-13）

　　再者，由（7-12）得

　　所以

　　化简得

　　 （7-14）

　　在古新妙电磁场理论中，第二对麦克斯韦方程是不成立的，已被修改为（7-11）、（7-12）两式。古新妙电磁场理论与麦克斯韦电磁场理论的根本区别是：前者所得的场方程是关于场的势的方程，与牛顿力学观点相符，统一场论思想可得到实现，而后者所得的场方程是关于电场强度和磁场强度的方程，与牛顿力学观点不符，无法实现统一场论思想，这就是它们的根本区别。笔者认为前者正确而后者错误，不论从两个理论体系的基本观点方面、逻辑结构方面还是从真实物理意义方面来考虑都是如此。

　　随时间变化的电磁场叫做电磁波。

　　3. 古新妙电磁场举例

　　与时间无关的电磁场叫做恒定电磁场。库仑场以及稳定电流产生的电磁场都是恒定电磁场的特例。

　　场强在空间中所有点都相同的电磁场叫做均匀电磁场。均匀电场和均匀磁场都是均匀电磁场的特例。

　　均匀电场：均匀电场的标量势可表示为，其中是常矢量。电场强度为

　　 （常矢量）

　　均匀磁场：均匀磁场的矢量势可表示为，其中是常矢量。磁场强度为

　　 （常矢量）

　　库仑场：假设坐标原点处有一个带电量为的电荷，它所产生的电场叫做库仑场。这个场的标量势满足Poisson方程

　　矢量势满足方程

　　即

　　其中。如果仅仅准确到相差一个满足拉普拉斯方程的函数，那么库仑场的标量势为

　　电场强度为

　　具有正负两极的静电场：对于具有正负两极的静电场，我们使用满足“泊松”方程的两个函数和来描写它。假定正负两电极的位置分别为、，空间中的任意点到两电极的距离分别为和，和分别满足泊松方程和，而其中，。其中如果是正电荷，那么是负电荷。我们有，，从而

　　，。

　　我们用来表示静电场的标量势，那么我们有

　　此公式只能在除正负两极之外的地方使用。

　　等速运动电荷产生的电磁场：让我们来求一个以等速度运动的电荷产生的电磁场。假定为静止的参考系统，电荷从坐标原点开始以等速度沿轴运动。在时刻，电荷在系统中的坐标为，，。电荷分布密度为，电流密度矢量为，其中与时间有关：，与都随时间而变化，因此有一个变化的电磁场。电磁场的标量势满足方程

　　矢量势满足方程

　　所以

　　计算得

　　、

　　、

　　由此求得

　　这就是在古新妙电磁场意义下等速运动电荷产生的电磁场的表达式。显然，我们有，这就是说，电场与磁场是相互垂直的。此外，我们还有。特别地，如果电荷以光速沿轴运动，那么、。

　　在古新妙电磁场意义下等速运动电荷产生的电磁场是变化的电磁场，也是一种电磁波。从表达式可以看出，这个电磁波的传播速度是。这句话的准确意义是说：在时刻时点处的电场强度，与在时刻时点处的电场强度恰好是相等的，后者是由前者经过时间段传播来的，这浅显的道理说明古新妙电磁场理论并非是超距作用的。如果电荷以光速运动，那么这个电磁波的传播速度就等于光速。

　　 线性谐振子产生的电磁场：让我们来求线性谐振子产生的电磁场。假定电荷在轴原点附近作线性谐振。在时刻，电荷位置的坐标为，，。令，那么电荷分布密度为，电流密度矢量为与都随时间而变化，因此有一个变化的电磁场。电磁场的标量势满足方程

　　矢量势满足方程

　　所以

　　由此求得

　　即

　　由此求得

　　显然，我们有，这就是说，磁场强度与电场强度总是垂直的。而且，我们看到，电磁场的标量势和矢量势都是时间的具有相同周期的周期函数；电场强度以及磁场强度也都是时间的具有相同周期的周期函数。

　　电荷作周期性振动，它所产生的电磁场作周期性变化，这种变化的电磁场以一种波动的形式向周围空间传播能量，这种传播能量的方式就是电磁波。其中就是电磁波的圆频率。

　　匀速圆周运动的电荷产生的电磁场：让我们来求匀速圆周运动的电荷产生的电磁场。假定电荷在平面上绕坐标原点作匀速圆周运动。在时刻，电荷位置的坐标为，，。令，那么电荷分布密度为，电流密度矢量为与都随时间而变化，因此有一个变化的电磁场。电磁场的标量势满足方程

　　矢量势满足方程

　　所以

　　即

　　由此可见，电磁场的标量势和矢量势都是时间的具有相同周期的周期函数，由此推知，电场强度以及磁场强度也都是时间的具有相同周期的周期函数。

　　运动电荷产生的电磁场： 假定有一个运动的电荷，所带的电量为，向径为，运动速度为，考虑空间中任意一点，电荷在这一点所产生的电磁场的标量势以及矢量势分别满足方程、，由此得到

　　，

　　我们有

　　由此求出电磁场在点处的电场强度以及磁场强度的表达式：

　　特别地，如果运动电荷的加速度等于零，那么

　　显然，此时有。这就是说，当运动电荷的加速度等于零时，它所产生的电磁场的电场强度与磁场强度相互垂直。

　　电荷体系产生的电磁场： 假定有一电荷体系，带电量为的电荷，其向径为，运动速度为。考虑离空间中任意一点，电荷体系在这一点所产生的电磁场的标量势以及矢量势分别为

　　，

　　我们有

　　由此求出电磁场在点处的电场强度以及磁场强度的表达式：

　　彼此相距很近的运动电荷体系产生的电磁场：假定坐标原点附近有一电荷体系，其中每一个电荷与坐标原点相距很近，考虑离坐标原点较远的地方的任意一点，电荷体系在这一点所产生的电磁场的标量势为

　　而矢量势为

　　按照上述假定，电荷体系中的每一个电荷与坐标原点相距很近，的各分量都很小，所以我们打算把标量势和矢量势都展开为的幂级数。为此，我们需要使用下列幂级数展开式：

　　对于函数使用这公式，得到

　　所以

　　其中。

　　由于，所以，所以

　　以及

　　如果令代表电荷体系的总电荷；叫做电荷体系的偶極矩；叫做电荷体系的四極矩。那么我们有

　　如果只准确到第一阶，那么有

　　即

　　此外我们有

　　即

　　或即

　　把花括号内的第二项分成两项，得

　　对花括号内的第二项使用分部微分法，得

　　合并花括号内的第三项和第四项，得

　　即

　　因为，所以

　　令叫做电荷体系的磁矩。则有

　　现在让我们来求磁场强度。首先，我们有

　　其次，我们有

　　而

　　所以

　　即

　　再次，我们有，显然，其中、、，所以

　　即

　　综合起来，我们得到

　　对于电荷体系的磁矩，如果假定电荷体系中的所有电荷都有相同的荷质比，那么我们有。令叫做体系的冲量矩，则有。

　　连续分布的电荷体系产生的电磁场：假定连续分布的电荷体系由电荷分布密度和电流密度矢量来描写，那么标量势和矢量势分别满足方程

　　和

　　为了寻求方程的解，我们将整个空间分解为许多无限小的区域，求其中每一个无限小的区域内的电荷所产生的场，由于场方程是线性的，实际的场就是每个无限小的区域内的电荷所产生的场的总和。现在考虑其中的一个无限小的区域，是这个无限小区域内的一个代表点，这无限小区域的体积为，根据电荷密度的定义，这区域内的电荷数为，一般地说，是坐标以及时间的函数。如果把看成是在点处的点电荷的电荷数，那么这点电荷的电荷密度就是，其中代表点到点的距离。现在我们需要解方程，由此求得。由于，所以。对整个空间积分，即得

　　这就是方程的解。其中代表从点到点的距离。

　　同法可得方程的一个特殊解：

　　继而求得

　　其中。

　　具有南北两极的静磁场：对于具有南北两极的静磁场，我们使用满足“泊松”方程的两个函数和来描写它。假定南北两磁极的位置分别为、，空间中的任意点到两磁极的距离分别为和，和分别满足方程和，而其中，。于是，，从而

　　，。

　　我们用来表示静磁场的矢量势，那么我们有

　　由于、，所以，于是得

　　按照矢量势的定义，得

　　所以

　　化简整理得

　　此公式只能在除南北两极之外的地方使用。

　　假定地球半径为，那么对于地球赤道上任意一点来说，，，又，代入上式并化简，得到

　　假定，那么

　　这就是地球赤道上任意一点的磁场强度公式。

　　带电量为的电子在具有南北两极的静磁场中的运动方程具有如下形式：

　　两边数乘以，得

　　因为，所以

　　即

　　因此，我们有能量积分

　　 （常数）

　　从以上例子可以看出，古新妙电磁场理论的内容非常丰富，能够解决许多实际问题，不再是空中楼阁。我们必须发展古新妙电磁场理论。

　　4. 有关伽利略变换的若干问题

　　伽利略变换 假定和是两个惯性系统，相对于以速度作匀速直线运动，对于空间中的同一点，在惯性系统中的时空坐标和中的时空坐标有如下变换关系：，，，，这就叫做伽利略变换。简单地写作。从而有速度变换公式。

　　伽利略变换下的数值不变式 在伽利略变换之下，时间是数值不变式。这就是说，在任何惯性系统中，时间都是一样的，牛顿时间是普适时间，这就是牛顿时间的物理本质。

　　伽利略变换下的不变形式 对于描写同一个电磁场的标量势和矢量势来说，表达式是在伽利略变换之下的不变形式。若在伽利略变换下，表达式变换为表达式，那么我们有

　　， ， ，

　　偏导数算子在伽利略变换下的变换规律 根据式子

　　在伽利略变换之下，得到

　　， ， ，

　　这就是偏导数算子在伽利略变换下的变换规律。于是我们有拉普拉斯算子的不变性：

　　矢量势的散度的不变性：

　　以及矢量势的旋度的不变性：

　　电磁场的变换规律 根据电磁场的表达式，容易求得电磁场在伽利略变换之下的变换规律如下：

　　连续性方程在伽利略变换之下的不变性 连续性方程在伽利略变换之下具有不变性，证明如下：

　　这就证明了表达式是在伽利略变换之下的不变式，所以连续性方程在伽利略变换之下具有不变性。

　　电磁场方程的不变性 不难证明古新妙电磁场理论中的所有电磁场方程、
、、、、、
、、在伽利略变换之
下都具有不变性，在此不必赘述，仅举一个例子证之。例如，考虑方程。由于在
伽利略变换之下，，，再根据伽利略变换之下的关系式
，方程变为，化简得，这就证明了方程在伽利略变换之下具有不变性。

　　运动方程在伽利略变换之下的不变性 在牛顿电动力学体系中，决定粒子运动规律的拉格朗
日方程在伽利略变换之下具有不变的性质。事实上，在伽利略变换之下，我们有，而且知道电磁场的变换规律如下：，。反之，，。把它们代入上述拉格朗日方程运动方程，得

　　化简得

　　这就证明了拉格朗日运动方程在伽利略变换之下具有不变的性质。

　　牛顿电动力学体系满足伽利略相对性原理 现在证明牛顿电动力学体系满足伽利略相对性原理。假定和是两个惯性系统，相对于以速度作匀速直线运动，牛顿电动力学体系在惯性系统和中的拉格朗日函数分别是和。作伽利略变换：，从而有速度变换公式：。在这伽利略变换之下，我们有

　　令

　　以及

　　则有

　　这就证明了与除了相差一个时空坐标函数对时间的全微商之外，其余部分有完全相同的形式结构。由此可知，由与所描写的两个力学体系中的所有力学定律的形式上完全相同。因此，牛顿电动力学体系满足伽利略相对性原理。

　　5. 用牛顿电动力学处理带电粒子在库仑场中的运动问题

　　考虑一个质量为带电荷的粒子在另一个粒子产生的库仑场中的运动。假定第二个粒子带电荷而且它的质量足够大，以致可把第二个粒子当作是固定的。这样一来，问题就化成带电粒子在中心对称电场中的运动，电场的势为。在牛顿电动力学中，描写粒子运动特性的拉格朗日函数为，其中。运动粒子的冲量为

　　能量为

　　由于拉格朗日函数不明显地含有时间，所以我们有能量积分

　　为了得到运动方程，需要计算广义冲量和广义力。注意到，我们求得广义冲量：

　　，，

　　广义力：

　　因此我们得到运动方程：

　　于是我们有角动量积分

　　粒子在平面上运动的方程为

　　角动量积分简化为

　　若，则常数，粒子的运动轨道是直线。现在假定，不妨假定。为了决定一个电荷在库仑场内的运动，我们在运动平面内选择極坐标，令，那么我们有

　　根据能量积分，得，所以

　　根据动量矩积分，得，所以

　　所以

　　如果，那么粒子的运动轨道是圆。假定，那么我们有

　　若，则电场不存在，粒子作惯性运动，方程简化为，此时方程有解：

　　, 。

　　粒子的运动轨道是直线。下面假定。此时，不管还是，讨论过程是完全类似的，为了节约篇幅，只讨论的情况。令，则得，此方程有解：，所以。在此情况下，假定电子与原子核中心的最近距离为，最远距离为，那么

　　，

　　由此求出轨道参数：

　　，

　　这里，是离心率，焦点到准线的距离是。根据定义式，得动量矩积分常数：

　　又因为，所以得到角速度表达式：

　　从而有

　　所以

　　其中

　　所以

　　于是求得速度随極径变化的函数关系：

　　此外还有

　　于是求出了能量积分常数：

　　此时。

　　 总之，我们求出了能量积分常数以及动量矩积分常数，这两个常数都仅仅由轨道参数和来决定，能量守恒定律和动量矩守恒定律都已实现。

　　6. 一个电荷在均匀恒定电磁场中的运动

　　考虑电荷在均匀恒定电磁场中的运动。选择磁场的方向为轴的方向，电场和磁场的平面为平面，此时，运动方程可写成如下形式：

　　， ，

　　令，则得

　　， ，

　　由最后一个方程看出，电荷以均匀加速度沿轴方向运动：，。再由前两个方程得到

　　此方程有特解

　　而方程有通解，所以

　　故得

　　， 。

　　最后得

　　，，

　　这就是所求的轨道方程。

　　当时，速度沿着轴。假定当时，，那么

　　， 。

　　这就是说，电荷轨道在平面上的投影就是所谓的次摆线。当时，

　　，

　　即

　　，

　　它就是一条摆线。

　　作者简介：古新妙，男，汉族，高级教师，籍贯广东五华，生于1935年11月，1961年毕业于武汉大学数学系本科五年制应用数学专业。毕业分配到九江大学数学系任教。1962年因九江大学停办调到修水第一中学从事高中数学教学工作。几十年如一日，诚诚恳恳，踏踏实实，对待教学工作，一丝不苟，精益求精，所教班级成绩突出，深受学生欢迎，得到家长好评。获县委县政府授予“优秀教师”，“先进工作者”，“有突出贡献的知识分子”等称号。获国家教委授予1993年全国优秀教师称号。2005年6月至9月在北京相对论研究联谊会网站上发表论文8篇。电子信箱：guxinmiao@sina.com