论文三 空间反演的两类对称性
内容提要
虚数i 的数学意义我们都很清楚。本论文通过对两类空间反演对称性的论述，阐明了洛仑兹变换新公式中出现虚数单位ｉ的物理意义；为相互共轭的两组洛仑兹变换新公式的并存提供了依据。
关键词： 虚数ｉ 物理意义 两类镜像对称
一、什么叫相离运动，什么叫相向运动？
相离运动和相向运动都是比较而言，它们都是相对于静系统而言的，否则就无法判别。
如图１所示，Σ为静系统，Σ′为动系统以速度ｖ沿Ｘ轴增大方向运动。Σ″也是动系统以速度ｖ沿Ｘ轴负方向运动。Σ″构成了Σ′的镜像。相离运动（包括静系统、镜像系统）构成了
洛仑兹群，洛仑兹变换公式
 
其中：
适用于此群。
如图２所示，Σ为静系统，Σ′为动系统，在Ｘ轴的正侧，沿Ｘ轴减小的方向以速度ｖ向静系统原点Ｏ处观察者运动，Σ″是Σ′的镜像。相向运动（包括静系统、镜像系统）构成了共轭洛仑兹群，洛仑兹变换公式
 
其中
适用于此群。
二、两种镜像对称
如图３所示，ＡＢ是一相对于静系统以速度ｖ向Ｘ轴增大方向运动的杆。ｘ′＝ｘ－ｖｔ表示杆ＡＢ的长度。
 这里ｘ′为常数，ｘ是ｔ的函数，可以写成ｘ（ｔ）。在相离运动中，随着时间ｔ的流逝，ｖｔ增大，ｘ（ｔ）也增大，保持ｘ′＝ｘ(ｔ)－ｖｔ值不变。
在相向运动中，我们怎样将空间坐标ｘ，时间ｔ，速度ｖ和不变的杆长ＡＢ（ｘ′）联系起来呢？
 如图４所示，ｘ1，ｘ2为常数，表示计时开始时杆的空间位置，杆长为(ｘ2－ｘ1)。ｘ′为动坐标表示的杆长，ｘ为动系统Σ′中Ｂ1 点到静系Σ的原点空间距离，ｘ是ｔ的函数，可以写成ｘ(ｔ)。随着时间ｔ的流逝，ｖｔ增大，ｘ(ｔ)减小。因此，用ｘ＇＝ｘ(ｔ)±ｖｔ的任何形式，都不能表达杆长的不变。或者说，杆的长度ｘ＇不能同时用静系统参数ｘ，ｖ，ｔ表示出来。在图３中，ｘ和ｖｔ都是从静系原点计量的，它们有共同的计量起点，而在图４中ｘ从静系原点计量，ｖｔ却不是。这就是相离运动和相向运动的区别。
为了建立相向运动杆长和空间、时间、速度三者之间的联系，需要建立新的概念。
(一)、第一种镜像对称
我们知道，速度等于位移对时间的导数，空、时、速三者联系式为
 （1）
式中： ｋ为常数，表示ｘ和ｖ的空间取向．ｋ＝±１．
这就是通常所说的空间反演对称性（或左右对称、镜像对称）。式(1) 中的ｋ＝±１称为镜像对称系数。
如图１、图２所示的相离运动或相向运动，观察者和镜子处于同一位置，即观察者处于对称中心．在这种情况下，无论是相离运动（图１）还是相向运动（图２），对称系数都是ｋ＝±１．实物运动取ｋ＝＋１时，镜像运动则取ｋ＝－１．或者反之。
因而，只要观察者处于对称中心（镜子位置），无论是相离运动的对称性还是相向运动的对称性，都有
(二)、第二种“镜像”对称
第二种“镜像”对称和第一种镜像对称不同，所以，镜像对称系数Ｋ的取值也不同。这第二种“镜像”对称正是我们要建立的新概念．
 如图５所示，对于观察者Ｋ来说Ａ的运动是相离运动；Ａ′ 的运动是相向运动．这也是一种镜像对称运动，但是这和第一种镜像对称不同，第一种镜像对称是镜子必须置于观察者处，或者说观察者必须处于对称中心。而这里相离运动和相向运动的对称性，镜子不是置于观察者处，观察者不在对称中心。为了区别这种情况，我们引入第二类镜像对称系数：K＝ 。 在一般情况下，我们写成
或者反之。
应该注意，相向运动时，ｘ和ｖｔ不是从同一点取值的，换成ｉｖｔ后，就可以和ｘ在同一点（ｖｔ的镜像点）取值了。这样，杆的长度ｘ′ 就可以和空间坐标ｘ，时间ｔ以及速度v建立联系了。由图４，我们得到
x′ ＝ x － i v t (4)
这和相离运动
x′ ＝ x－v t
具有第二类镜像对称的形式。
对于第一类镜像对称，K1＝±1，表示物质实际运动（实像）和镜像运动（虚像）之间的方向关系, （当然，镜像运动也是实际可以发生的）。此时，物理规律相同，洛仑兹变换也相同。这是爱因斯坦通过φ(v)＝φ(－v)证明了的。
对于第二类镜像对称，K2＝ ，表示物质相离运动和相向运动之间的方向关系。此时，物理规律相同，洛仑兹变换不同。
但是，就一个观察者来说，他看到一个物体运动，在某一时刻，要么是相离而去，要么是相向而来。因而总的格式应该如下
＋1 实际运动
 (＝1) 相离运动；K1＝ －1 镜像运动
K2 ＝
 (＝i ) 相向运动；K1＝＋1 实际运动
－1 镜像运动
归纳一下应有：
 (5)
 其中： ； ； ，－1，i ，－i 。
对应于K2 洛仑兹变换不同； 对应于K1 洛仑兹变换相同。见表１。
表１ 两类镜像对称公式的比较表
|
公式名称 |
方 向 |
从静系Σ看动系Σ′ |
从动系Σ′看静系Σ |
|
洛
仑
兹
变
换
|
相
离
运
动 |
|
|
|
相
向
运
动 |
|
|
三、直线运动中的虚数
质点的直线运动对应于数轴上点的谐振动，反映在数值上应是实数的变化，怎么会出现虚数ｉ呢？
式（５）已经给出物质运动的空、时、速三者的关系
式中：Ｋ＝Ｋ1·Ｋ2＝± 。Ｋ为镜像对称系数，Ｋ1 为第一类镜像对称系数，Ｋ2 为第二类镜像对称系数。这里出现了虚数 ＝ｉ。
（一）、第一类镜像对称系数
Ｋ1＝±１． 2 3
如图６－１所示，２和３是关于原点的 ←──── ────→
相离运动对称性；１和４是关于原点的相向 ───────●───────→ｘ
运动对称性。在这两种情况下，镜像对称系 ────→ 原点 ←────
数都由Ｋ1 ＝±１. 给出。２取Ｋ1 ＝＋１. 1 4
时，３取Ｋ1 ＝－１. １取Ｋ1 ＝＋１. 时， 图６－１ 直线运动的对称性
４取Ｋ1 ＝－１. 或者反之。若就速度而论，这就是通常的ｖ与－ｖ的概念。
（二）、第二类镜像对称系数 1 2 3 4
Ｋ2＝ ─→ ←─ ─→ ←─
在图６－１中，１和２或者３和４对于 ───────●───────→ ｘ
原点处的观察者来说都属于相离运动和相向 原点
运动的非原点对称性。这由图６－２会看得 图６－２ 直线运动的对称性
更清楚。在这两种情况下，镜像对称系数都
由Ｋ2＝给出。１（或３）取Ｋ2 ＝＋１时，２（或４）取Ｋ2 ＝ｉ。或者反之。 若就速度而论，这就是镜像对称的新概念：ｖ与ｉｖ。
例如：
１、伽利略变换
相离运动：ｘ′＝ｘ－ｖｔ，
相向运动：ｘ′＝ｘ－ｉｖｔ．
２、洛仑兹变换
四、量子力学中的复数
量子力学公式中经常出现ｉ，这是什么原因呢？至今所有的教科书中只是使用，没有解释。
（一）、平面中点的运动是和二维复数对应的
电子绕核运动的椭圆轨道是两个互相垂直的谐振动的合成。如图７所示，ｘ和ｙ轴把电子的椭圆轨道四等分。
 ２和４是ｘ轴方向关于原点的相离运动对
称性，同时也是ｙ轴方向关于原点的相向运动
的对称性。１和３是ｘ轴方向关于原点的相向
运动对称性，同时也是ｙ轴方向关于原点的相
离运动的对称性。镜像对称系数都是Ｋ1 ＝±１。
２和３或１和４，无论在ｘ轴方向还是在
ｙ轴方向都是关于原点的相离运动和相向运动的对称，属于第二类镜像对称，对称系数都是Ｋ2 ＝
电子在椭圆轨道上不断运动，由ｘ轴正向运动到ｙ轴正向时，方向变化了90°，相当于变化了一个ｉ，再运动到ｘ轴负向，方向又变化了90°，相当于又变化了一个ｉ，但对ｘ轴正向而言方向变化了180°， 属于第一类镜像对称了。
为了综合反映出电子绕核运动的这两类不断变化同时存在的对称性，就必须用复数来描述。
ｗ＝ｘ＋ｙｉ．
或用量子力学公式
ψ(r,t)＝ψ。(r,t)（cosθ＋ｉsinθ），
式中：ｒ＝ 。
（二）、空间中点的运动是和三维复数对应的
我们定义三维复数为
ｗ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｉ．
三维复数的模为
ｒ＝｜ｗ｜＝ 。
当ｘ1 ＝ｘ2 ，ｙ1 ＝ｙ2 ，ｚ1 ＝ｚ2 时，三维复数
ｗ1 ＝ｗ2 ．
同一虚轴上的纯虚数可以加、减，即
ｗ1 ±ｗ2 ＝（ｘ1 ±ｘ2 ）＋（ｙ1 ±ｙ2 ）ｉ＋（ｚ1 ±ｚ2 ）ｉ，
不同虚轴上的纯虚数不能相加、减，即
ｗ＝ｘ＋ｙｉ±ｚｉ≠ｘ＋（ｙ±ｚ）ｉ．
于是，电子绕核在三维空间中的运动就可以用三维复数来描述了
 ｗ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｉ．
或者如图８所示，由
ｘ＝ｒcosφcosθ，
ｙ＝ｒcosφsinθ，
ｚ＝ｒsinφ．
得
w＝ｒ（cosφcosθ＋ｉcosφsinθ＋ｉsinφ）
式中：ｒ＝ ．
空间任意物体的曲线运动总是由平移和转动合成的，有时相离观察者而去，有时相向观察者而来，为了综合反映运动物体同时存在的两类对称性，用波函数来表示为
ψ(ｒ，ｔ)＝ψ。(ｒ，ｔ)（cosφcosθ＋ｉcosφsinθ＋ｉsinφ）
式中： r ＝
若用能量、动量以及直角坐标的指数函数表示，则为
现在我们明白了，原来量子力学公式和洛仑兹变换新公式中的ｉ，只是第二类镜像对称的对称系数。
例如
这里存在两类镜像对称：
１、ｖ与（－ｖ）或者ｉｖ与（－ｉｖ），对称系数Ｋ1 ＝±１。
２、ｖ与ｉｖ或者（－ｖ）与（－ｉｖ），对称系数Ｋ2 ＝ 。
第一类镜像对称用于相离运动或相向运动的空间反演；第二类镜像对称用于相离运动和相向运动的空间反演。这里请特别注意：“或”与“和”的区别! |
