第二章  是功不是能（动能）
现在我们来研究势能为什么用（1.7）式而不用（1.10）式。
先看重力势能。在地球表面设重力加速度g为常数，则重力
 （2.1）
重力势能为
 （2.2）
重力势能的增量为
 （2.3）
重力势能与h成正比，h越大，势能越大。
如图2－1所示，将物体提高到h1，克服重力所做的功为 ；将物体提高到h2，克服重力所做的功为 。如果将物体由h1 提高到h2,所做的功为
 （2.4）
由式（2.3）、（2.4）可知，功 在数值上与势能的增量相等。
再看弹簧振子的势能。如图2－2所示，弹簧振子的力为 ，克服弹簧振子力所做的功为
 （2.5）
弹簧振子在X1、X2位置上的势能分别是
 （2.6）
 （2.7）
弹簧振子势能的增量为
 （2.8）
如果弹簧张力像重力一样，假设为常数，则克服弹簧张力所做的功，在数值上也应与重力势能一样，功与势能的增量相等。
但是，因为弹簧张力是位移X的增函数，是个变量，不是常数，因而使势能变化
只需要做功
 （2.9）
就是说因为力随位移X增大而增大，不是常数，所以使物体势能由 变为 ，不需要付出与势能增量数值相等的功，只需要付出一半就能实现。
同理，在原子体系中，克服库仑力，使电子势能由
变为
势能增量为
 （2.10）
由于库仑力 ，也是变数，且与 成反比，是减函数，所以所做的功在数值上也不和势能的增量相等。
如图2－3所示，使电子由r1轨道变成r2轨道，克服库仑力所做的功为
 （2.11）
由上述讨论我们看到，功与势能的形式，随力是常数还是变数，是增函数还是减函数可能相同，也可能不同。
1、 对于重力。力 ，是常数，功和势能具有相同的形式：
功：  （2.12）
势能： （2.13）
2、 对于弹力。力，是增函数，功和势能具有不同的形式：
功：  （2.14）
势能： （2.15）
3、 对于原子体系。力 ，是减函数，功和势能也应具有不同的形式：
功：  （2.16）
势能： （2.17）
它们的不同仅表现为相差一个负号。负号说明功与能的增量方向相反。
现在回过头来，我们再看动能的情况是怎样的呢？设物体的质量为m，速度为v，则
 （2.18）
是动量。它是速度v的增函数。如图2－4所示。
我们把动量对速度积分：
 （2.19）
这不是动能，动能应有如下的形式：
 （2.20）
动能的增量为
 （2.21）
那么，形如 究竟是什么呢？它是功。
因为力 
则功 
又因为  ， 
所以功  （2.22）
可见， 是功不是能。这是根据“力和在力的作用方向上的位移的乘积等于功”这一严格定义计算出来的。
这就是说，克服物体的惯性使动能由 变为 ，只要做在数值上仅为动能增量一半的功就能实现。即
 （2.23）
通常教科书都认为，弹簧振子的势能为 ；原子体系的势能为 ；运动物体的动能为，根据上述讨论，我认为都是错误的。从是功不是能的概念出发，我们将能得出原子物理学的一系列重要结果。 |
